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考研數學：線代特征值與特征向量考點分析

作為線性代數的兩個核心之一的特征值與特征向量，是考研數學一和數學二、數學三的共同考試內容，常常以大題的形式出題，每年必考。所以理解特征值與特征向量的概念，熟悉與之相關的題型及解法，對于取得這部分題目的分數尤為重要。

從歷年考研數學中“特征值和特征向量”的考題題型分析來看，特征值、特征向量是線性代數的重點內容，是考研的重點之一，題多分值大，共有三部分重點內容：特征值和特征向量的概念及計算、方陣的相似對角化、實對稱矩陣的正交相似對角化。而數一、數二、數三的一個大題又出現了兩個矩陣相似和矩陣相似對角化的問題，所以今年的線性代數題目的難度下降了很多。

此章節(jié)?？碱}型有：

1.數值矩陣的特征值和特征向量的求法。根據已給出矩，通過特征方程求出特征值，然后通過求齊次線性方程組的基礎解系，求出矩陣的屬于特征值的線性無關的特征向量;

2.抽象矩陣特征值和特征向量的求法。一般利用特征值和特征向量的定義及性質;

3.判定普通方陣的相似對角化問題。利用判定定理“n階方陣A有n個線性無關的特征向量”或者“k重特征值恰好對應k個線性無關的特征向量”來判定;今年就考到了利用“k重特征值恰好對應k個線性無關的特征向量”來判定方陣相似對角化的問題。

4.由特征值或特征向量反求A。一般根據題目中所給的條件轉換為來解決;

5.有關實對稱矩陣的性質的問題。實對稱矩陣的4個重要性質(1)不同特征值對應的特征向量一定正交(2)k重特征值一定對應k個線性無關的特征向量(3)實對稱矩陣A一定可以相似對角化，即存在可逆矩陣P使得(4)存在正交矩陣Q，使得 。幾乎每年必定會考到其中的某條或某些性質，所以一定要牢記，并熟練掌握和應用。但就沒有考到，所以今年出的線代題目太簡單了。